По моему скромному мнению, дело с возможностью "самонавигации" (если так можно сказать) по координате (в отличие от с самонавигации по углу) в том, что выражение m*Vx=m*dx/dt можно проинтегрировать по времени и получить m*x. А выражение для проекции момента импульса на вертикальную ось, видимо, нельзя проинтегрировать. Давайте попробуем:
Mz=m*(x*Vy-y*Vx)=m*(x*dy/dt-y*dx/dt)=m/(x^2+y^2)*d/dt(arctg(y/x))=m*(dpsi/dt)/r^2.
Как видно, вообще говоря, производную по времени, d/dt, не удаётся вытащить наружу (на самую ружу). Почему? Потому что перед производными по времени от угла i-той точки, psi=arctg(y/x), стоит весовой коэффициент m/r^2, где m есть масса i-той точки, а r^2=x^2+y^2 есть расстояние от i-той точки до оси, относительно которой мы берём момент. Если все r i-тые будут константами, то есть если каждая точка находится на постоянном расстоянии до этой оси, то знак производной по времени выскакивает наружу и закон сохранения угла имеет место. И, в частности, "самонавигация" по углу невозможна. (Кстати, та константа, которая выскочит из-под знака производной называется моментом инерции тела относительно этой оси.) Заведомо этот закон сохранения может иметь место для случая твёрдого тела с закреплённой точкой (1), либо для случая твёрдого тела с закрепленной осью (2), либо для случая твёрдого тела, парящего в невесомости (3), а также в других случаях. Но в этих случаях годятся далеко не все оси, чтобы брать относительно них момент импульса. В случаях (1) и (3) годится любая ось, проходящая через закреплённую точку (для (3) - через центр масс). В случае (2) годится сама закреплённая ось. Ещё один случай, когда сохраняется угол – случай твёрдого тела, лежащего на льду (но только в том случае, если проекция центра масс на горизонтальную плоскость находится внутри множества точек опоры (т.е. если тело не покатится). Тогда годится вертикальная ось, проходящая через центр масс тела, и только она. Относительно неё запросто можно брать момент импульса. Относительно неё и будет идти вращение. Пример: шайба на льду.
|
